Question

已知过点A（-4，0）的动直线l与抛物线G：x²=2py（p＞0）相交于B、C两点．当直线l的斜率是

1

2

时，

AC

=4

AB

．求抛物线G的方程．

Answer 1

分析：确定l的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合

AC

=4

AB

，即可求得抛物线G的方程．

解答：解：设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
当直线l的斜率是

1

2

时，l的方程为y=

1

2

（x+4），即x=2y-4．
与抛物线方程联立得2y²-（8+p）y+8=0，
∴

y1+y2= p+8 2 y1y2=4

又∵

AC

=4

AB

，∴y₂=4y₁，解得：y₁=1，y₂=4，p=2，
∴抛物线G的方程为x²=4y．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，属于中档题．