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已知过点A(-4,0)的动直线l与抛物线C:x2=2py(p>0)相交于B、C两点.当l的斜率是
1
2
时,
AC
=4
AB

(1)求抛物线C的方程;
(2)设BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.
(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),由已知k1=
1
2
时,l方程为y=
1
2
(x+4)即x=2y-4.
x2=2py
x=2y-4
得2y2-(8+p)y+8=0
①②∴
y1y2=4
y1+y2=
8+p
2

又∵
AC
=4
AB
,∴y2=4y1
由①②③及p>0得:y1=1,y2=4,p=2,即抛物线方程为:x2=4y.

(2)设l:y=k(x+4),BC中点坐标为(x0,y0
x2=4y
y=k(x+4)
得:x2-4kx-16k=0④
x0=
xA+xB
2
=2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k

∴BC的中垂线方程为y-2k2-4k=-
1
k
(x-2k)

∴BC的中垂线在y轴上的截距为:b=2k2+4k+2=2(k+1)2
对于方程④由△=16k2+64k>0得:k>0或k<-4.
∴b∈(2,+∞)
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1
2
时,
AC
=4
AB

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