Question

已知x，y，z为正数，满足x²+y²+z²=1，则S=

1+z

2xyz

的最小值为

4

．

Answer 1

分析：由题意可得1-z²=x²+y²≥2xy，从而有

1+z

2xy

≥1-z，由基本不等式可得，

1+z

2xyz

≥z(1-z)≥4可求

解答：解：由题意可得，0＜z＜1，0＜1-z＜1
∴z（1-z）≤(

z+1-z

2

)2=

1

4

（当且仅当z=1-z即z=

1

2

时取等号）
∵x²+y²+z²=1
∴1-z²=x²+y²≥2xy（当且仅当x=y时取等号）
∴

1-z2

2xy

≥1即

(1-z)(1+z)

2xy

≥1
∵1-z＞0
∴

1+z

2xy

≥

1

1-z

∴

1+z

2xyz

≥

1

z(1-z)

≥4（当且仅当x=y=

6

4

，z=

1

2

时取等号）
则S=

1+z

2xyz

的最小值4
故答案为：4

点评：本小题主要考查基本不等式的应用、配凑法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．