Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁（底面三角形ABC是正三角形的直棱柱）中，点D，E分别是BC，B₁C₁的中点，BC₁∩B₁D=F，BC=

2

BB1．求证：
（1）平面A₁EC∥平面AB₁D；
（2）平面A₁BC₁⊥平面AB₁D．

Answer 1

分析：（1）由点D，E分别是BC，B₁C₁的中点，知A₁E∥AD，EC∥B₁D，由此能证明平面A₁EC∥平面AB₁D．
（2）由△ABC是正三角形，点D是BC的中点，知AD⊥BC，由平面ABC⊥平面BCC₁B₁，知AD⊥BC₁，由此能够证明平面A₁BC₁⊥平面AB₁D．

解答：证明：（1）∵点D，E分别是BC，B₁C₁的中点，
∴A₁E∥AD，EC∥B₁D，
∴A₁E∥平面AB₁D，
又∵A₁E∩EC=E，∴平面A₁EC∥平面AB₁D．
（2）∵△ABC是正三角形，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
又∵平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∴AD⊥BC₁，
又∵点D是BC的中点，BC=

2

BB1，
∴BD=

2

2

BB1，BB1=

2

2

B1C1，
∴

BD

BB1

=

BB1

B1C1

，∴△BDB₁∽△B₁BC₁，
故∠BDB₁=∠B₁BC₁，即∠BDF=∠B₁BF，
∴∠BDF+∠DBF=∠B1BF+∠DBF=900，∠BFD=90°，
∴BF⊥B₁D，即BC₁⊥B₁D，从而BC₁⊥平面AB₁D．
又BC₁?平面A₁BC₁，所以平面A₁BC₁⊥平面AB₁D．

点评：本题考查平面与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．