Question

某黑箱中有大小、形状均相同的5只白球和3只黑球，活动参与者每次从中随机摸出一个球（取出后不放回），直到3只黑球全部被取出时停止摸球，求停止摸球后，箱中剩余的白球个数X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：由题意知每次取一个球，至少需3次，即X最大为5．有3只黑球，当前3次取得的都是黑球时X=5，得到变量X的取值，当变量X是5时，表示第一次取出黑球，第二次取出也是黑球，第三次取出也是黑球，根据相互独立事件同时发生的概率公式得到分布列，写出期望．

解答：解：由题意知每次取一个球，
∴至少需3次，即X最大为5．有3只黑球，
当前3次取得的都是黑球时，X=5，
∴X可以取0，1，2，3，4，5．
当变量X是5时，表示第一次取出黑球，第二次取出也是黑球，第三次取出也是黑球，
根据相互独立事件同时发生的概率公式得到
P（X=5）=

3

8

×

2

7

×

1

6

=

1

56

；
P（X=4）=C

1 3

×

5

8

×

3

7

×

2

6

×

1

5

=

3

56

；
P（X=3）=C

2 4

×

5

8

×

4

7

×

3

6

×

2

5

×

1

4

=

6

56

；
P（X=2）=C

3 5

×

5

8

×

4

7

×

3

6

×

3

5

×

2

4

×

1

3

=

10

56

；
P（X=1）=C

4 6

×

5

8

×

4

7

×

3

6

×

2

5

×

3

4

×

2

3

×

1

2

=

15

56

；
P（X=0）=1-[P（X=5）+P（X=4）+P（X=3）+P（X=2）+P（X=1）]=

21

56

．
∴X的分布列如下：

X	0	1	2	3	4	5
P	21 56	15 56	10 56	6 56	3 56	1 56

EX=0×

21

56

+1×

15

56

+2×

10

56

+3×

6

56

+4×

3

56

+5×

1

56

=

25

28

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力．遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．