Question

某黑箱中有大小、形状均相同的5只白球和3只黑球，活动参与者每次从中随机摸出一个球（取出后不放回），直到3只黑球全部被取出时停止摸球，求停止摸球后，箱中剩余的白球个数X的分布列及数学期望．

Answer 1

解：由题意知每次取一个球，
∴至少需3次，即X最大为5．有3只黑球，
当前3次取得的都是黑球时，X=5，
∴X可以取0，1，2，3，4，5．
当变量X是5时，表示第一次取出黑球，第二次取出也是黑球，第三次取出也是黑球，
根据相互独立事件同时发生的概率公式得到
P（X=5）==；
P（X=4）=C××××=；
P（X=3）=C×××××=；
P（X=2）=C××××××=；
P（X=1）=C×××××××=；
P（X=0）=1-[P（X=5）+P（X=4）+P（X=3）+P（X=2）+P（X=1）]=．
∴X的分布列如下：

X	0	1	2	3	4	5
P

EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=．
分析：由题意知每次取一个球，至少需3次，即X最大为5．有3只黑球，当前3次取得的都是黑球时X=5，得到变量X的取值，当变量X是5时，表示第一次取出黑球，第二次取出也是黑球，第三次取出也是黑球，根据相互独立事件同时发生的概率公式得到分布列，写出期望．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力．遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．