Question

6．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$与x轴的正半轴交于点A，若在第一象限的椭圆上存在一点P，使得∠PAO=$\frac{π}{6}$（O为坐标原点），则该椭圆离心率的取值范围是$（\frac{\sqrt{6}}{3}，1）$．

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀），（0＜x₀＜a），则$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$=$tan（π-\frac{π}{6}）$，可得${y}_{0}=-\frac{\sqrt{3}}{3}（{x}_{0}-a）$．又$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得（a²+3b²）${x}_{0}^{2}$-2a³x₀+a⁴-3a²b²=0，由题意可得0＜x₀＜a，△＞0，a⁴-3a²b²＞0，解得：$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$的范围，利用e=$\frac{c}{a}=\sqrt{1-（\frac{b}{a}）^{2}}$即可得出．

解答 解：设P（x₀，y₀），（0＜x₀＜a），则$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$=$tan（π-\frac{π}{6}）$，可得${y}_{0}=-\frac{\sqrt{3}}{3}（{x}_{0}-a）$．
又$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得（a²+3b²）${x}_{0}^{2}$-2a³x₀+a⁴-3a²b²=0，
∵0＜x₀＜a，∴△=4a⁶-4（a²+3b²）（a⁴-3a²b²）＞0，a⁴-3a²b²＞0，
解得：$0＜\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}＜\frac{1}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}=\sqrt{1-（\frac{b}{a}）^{2}}$＞$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，又e∈（0，1），
∴$\frac{\sqrt{6}}{3}＜e＜1$．
∴该椭圆离心率的取值范围是$（\frac{\sqrt{6}}{3}，1）$．
故答案为：$（\frac{\sqrt{6}}{3}，1）$．

点评 本题考查了椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交与判别式的关系、不等式解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．