Question

已知函数f（x）同时满足如下三个条件：①定义域为[-1，1]；②f（x）是偶函数；③x∈[-1，0]时，，其中a∈R．
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的解析式，并求出函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）当a≠0，x∈[0，1]时，函数，若g（x）的图象恒在直线y=e上方，求实数a的取值范围（其中e为自然对数的底数，e=2.71828…）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因为函数为偶函数，所以f（x）=f（-x）．x∈[-1，0]时，得到x∈[0，1]时得到f（x）的解析式，并讨论a的取值利用二次函数求最值的方法求出最值即可；
（Ⅱ）化简g（x），要证g（x）的图象恒在直线y=e上方即就是要证g_min（x）＞e成立，利用导数研究函数增减性得到函数的最小值，让其大于e，求出a的范围即可．
解答：解：（Ⅰ）任取x∈[0，1]，，
又f（x）是偶函数，故x∈[0，1]时，f（x）=f（-x）=e^2x-ae^x．
由f（x）是定义域为[-1，1]的偶函数可知，f（x）在x∈[0，1]的最大值即可为f（x）的最大值．
当x∈[0，1]时，；；
综上可知：
a≤e+1时，f_max（x）=f（1）=e²-ae；a＞e+1时，f_max（x）=f（0）=1-a．
（Ⅱ）
==
要x∈[0，1]时，函数g（x）的图象恒在直线y=e上方，
即x∈[0，1]时，g_min（x）＞e成立，
g′（x）f'（x）=（x+a+3）（x-1）e^x，令g′（x）=0，解得x₁=-a-3，x₂=1
①当-a-3≤0，即a≥-3且a≠0时，可得x∈[0，1]时g′（x）≤0，故g（x）在区间[0，1]单调递减．
此时g_min（x）=g（1）=（-2-a）e＞e⇒a＜-3，与a≥-3且a≠0矛盾．
②当0＜-a-3＜1，即-4＜a＜-3时，可得x∈[0，-a-3]时，g′（x）≥0，x∈[-a-3，1]时g′（x）≤0，可知f（x）在区间[0，-a-3]单调递增．在区间[-a-3，1]单调递减．
此时g_min（x）＞e?g（0）＞e，且g（1）＞e，

故-4＜a＜-3时可满足题意；
③-a-3≥1，即a≤-4时，可得x∈[0，1]时g′（x）≥0，可知g（x）在区间[0，1]单调递增．
此时
综上可知：a＜-3时，g（x）的图象恒在直线y=e上方．
点评：考查学生利用导数求函数最值的能力，以及单调性与奇偶性的综合应用能力，理解不等式恒成立的条件．