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已知函数f(x)同时满足如下三个条件:①定义域为[-1,1];②f(x)是偶函数;③x∈[-1,0]时,f(x)=
1
e2x
-
a
ex
,其中a∈R.
(Ⅰ)求f(x)在[0,1]上的解析式,并求出函数f(x)的最大值;
(Ⅱ)当a≠0,x∈[0,1]时,函数g(x)=(
x2
a
+x-2-
3
a
)[e2x-f(x)]
,若g(x)的图象恒在直线y=e上方,求实数a的取值范围(其中e为自然对数的底数,e=2.71828…).
(Ⅰ)任取x∈[0,1],则-x∈[-1,0],f(-x)=
1
e-2x
-
a
e-x
=e2x-aex

又f(x)是偶函数,故x∈[0,1]时,f(x)=f(-x)=e2x-aex
由f(x)是定义域为[-1,1]的偶函数可知,f(x)在x∈[0,1]的最大值即可为f(x)的最大值.
当x∈[0,1]时,令t=ex∈[1,e],f(x)=h(t)=(t-
a
2
)2-
a2
4
a
2
e+1
2
,即a≤e+1时,fmax(x)=h(e)=f(1)=e2-ae
a
2
e+1
2
,即a>e+1时,fmax(x)=h(1)=f(0)=1-a

综上可知:
a≤e+1时,fmax(x)=f(1)=e2-ae;a>e+1时,fmax(x)=f(0)=1-a.
(Ⅱ)g(x)=(
x2
a
+x-2-
3
a
)[e2x-f(x)]

=(
x2
a
+x-2-
3
a
)(e2x-e2x+aex)
=(
x2
a
+x-2-
3
a
)•aex=(x2+ax-2a-3)ex

要x∈[0,1]时,函数g(x)的图象恒在直线y=e上方,
即x∈[0,1]时,gmin(x)>e成立,
g′(x)f'(x)=(x+a+3)(x-1)ex,令g′(x)=0,解得x1=-a-3,x2=1
①当-a-3≤0,即a≥-3且a≠0时,可得x∈[0,1]时g′(x)≤0,故g(x)在区间[0,1]单调递减.
此时gmin(x)=g(1)=(-2-a)e>e?a<-3,与a≥-3且a≠0矛盾.
②当0<-a-3<1,即-4<a<-3时,可得x∈[0,-a-3]时,g′(x)≥0,x∈[-a-3,1]时g′(x)≤0,可知f(x)在区间[0,-a-3]单调递增.在区间[-a-3,1]单调递减.
此时gmin(x)>e?g(0)>e,且g(1)>e,
又g(0)=-2a-3>e?a<
-e-3
2
,g(1)>e?a<-3

故-4<a<-3时可满足题意;
③-a-3≥1,即a≤-4时,可得x∈[0,1]时g′(x)≥0,可知g(x)在区间[0,1]单调递增.
此时gmin(x)=g(0)=-2a-3>e?a<
-e-3
2
,又a≤-4.故a≤-4时可满足题意.

综上可知:a<-3时,g(x)的图象恒在直线y=e上方.
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③f(1-a)+f(1-a2)<0.
求a的取值范围.

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1
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-
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,其中a∈R.
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(Ⅱ)当a≠0,x∈[0,1]时,函数g(x)=(
x2
a
+x-2-
3
a
)[e2x-f(x)]
,若g(x)的图象恒在直线y=e上方,求实数a的取值范围(其中e为自然对数的底数,e=2.71828…).

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(Ⅱ)当a≠0,x∈[0,1]时,函数,若g(x)的图象恒在直线y=e上方,求实数a的取值范围(其中e为自然对数的底数,e=2.71828…).

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