Question

【题目】已知方程的曲线是圆．

（1）求实数的取值范围；

（2）若直线与圆相交于、两点，且（为坐标原点），求实数的值；

（3）当时，设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）实数的值等于（3）四边形面积的最小值为

【解析】

（1）圆方程化为标准方程，即可求解；

（2）联立直线与圆方程，消元整理为一元二次方程，进一步根据根与系数的关系以及向量垂直的充要条件，即可求解；

（3）为圆的半径），要求四边形面积的最小值，只需求出长最小，即可求解.

（1）解：由，

得．

由解得．

所以所求实数的取值范围是．

（2）解：联立，

得．

由，解得．

设，则，

，

且，

即．

因为，则得，

所以①

代入①得，

解得，符合题意．

所以所求实数的值等于．

（3）解法一：当时，圆的方程为，

即，所以圆的圆心坐标是，半径是．

由于、为圆的两条切线，

所以．

又，

而的最小值为点到直线的距离．

因为，所以．

因此四边形面积的最小值是．

解法二：当时，圆的方程是，

即，所以圆的圆心坐标是，半径是．

由于、为圆的两条切线，

所以．

又．

设点的坐标为，则，即，

所以，即，

即，即．

当，时，．

所以．

因此四边形面积的最小值为