Question

已知平面上两定点C（-1，0），D（1，0）和一定直线l：x=-4，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(

PQ

+2

PC

)•(

PQ

-2

PC

)=0．
（1）问点P在什么曲线上，并求出曲线的轨迹方程M；
（2）又已知点A为抛物线y²=2px（p＞0）上一点，直线DA与曲线M的交点B不在y轴的右侧，且点B不在x轴上，并满足

AB

=2

DA

，求p的最小值．

Answer 1

分析：（1）先由(

PQ

+2

PC

)(

PQ

-2

PC

)=0．得|

PQ

|=2|

PC

|．法一：转化为到定点的距离和到定直线的距离问题即椭圆定义，就可求出点P所在曲线以及曲线的轨迹方程M；
法二：直接设出点P的坐标，代入整理即可求出点P所在曲线以及曲线的轨迹方程M；
（2）先把点B的坐标设出来，利用

AB

=2

DA

求出点A的坐标，再利用点A为抛物线y²=2px（p＞0）上一点，求出p和点B的坐标之间的关系，最后利用点B所在位置的限制求出p的最小值即可．

解答：解：（1）由(

PQ

+2

PC

)(

PQ

-2

PC

)=0．得|

PQ

|=2|

PC

|．
法一：动点P到定点C（-1，0）的距离与到定直线l：x=-4的距离之比为常数，
所以点P在椭圆上．
由

e= c a = 1 2 a2 c -c= b2 c =3

?a=2，b=

3

，c=1．
所以所求的椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
法二：设P（x，y）代入|

PQ

|=2|

PC

|．得点P的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）椭圆的右焦点为D（1，0），点B在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1（-2＜x≤0）上，设B（x₀，y₀），其中-2＜x₀≤0
由

AB

=2

DA

，知xA=

x0+2

3

，yA=

y0

3

．
由点A在抛物线y²=2px上，得

y 2 0

9

=2p•

x0+2

3

．
又

y 2 ^

3

=1-

x 2 0

4

，∴8p=

4- x 2 0

x0+2

．
令t=x₀+2，则0＜t≤2，
即8p=

-t2+4t

t

=-t+4，∵0＜t≤2∴当t=2时p最小
∴p=

1

4

，又当t=2时，x0=0为椭圆与y轴的交点．
故p的最小值为

1

4

点评：本题综合考查了椭圆的定义，直线与抛物线的位置关系以及向量共线问题．是一道综合性很强的好题．