Question

一个四面体的各个面都是边长为的三角形，则这个四面体体积为________．

Answer 1

2
分析：考虑一个长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，其四个顶点就构成一个四面体AB₁CD₁ 恰好就是每个三角形边长为，利用长方体的体积减去4个角的体积即可．
解答：设长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 三棱分别是a，b，c，
于是列出方程 a²+b²=5，b²+c²=10，c²+a²=13 于是解出 a²=4，b²=1，c²=9，a=2，b=1，c=3，
即对于三棱分别为1，2，3的长方体 去掉4个角 就得到题中要求的四面体．
于是，所求四面体体积为：长方体体积-4个角上直四面体体积=1×2×3=2．
故答案为：2．
点评：本题是中档题，考查几何体的体积的求法，注意构造法，空间想象能力，考查计算能力，转化思想的应用．