Question

从正方体的8个顶点选取4个点，连接成一个四面体，则关于这个四面体的各个面，下列叙述错误的是（ ）
A．有且只有一个面是直角三角形
B．每个面可能都是等边三角形
C．每个面可能都是直角三角形
D．有且只有一个面是等边三角形

Answer 1

【答案】分析：我们把正方体中的所有三棱锥分为两类：
第一类：在底面ABCD的三个顶点中任取三个作为三棱锥的顶点，然后在底面A₁B₁C₁D₁的四个顶点中任取一个作为三棱锥的第四个顶点，
第二类：在底面ABCD的三个顶点中任取两个作为三棱锥的顶点，然后在底面A₁B₁C₁D₁的四个顶点中任取两个作为三棱锥的另外两个顶点，从而得出正方体中的所有三棱锥的情况．
解答：解：我们把正方体中的所有三棱锥分为两类：
第一类：在底面ABCD的三个顶点中任取三个作为三棱锥的顶点，然后在底面A₁B₁C₁D₁的四个顶点中任取一个作为三棱锥的第四个顶点，一种是如图（1）中的三棱锥A₁-ABD，其中三个面是直角三角形，
第四个面是等边三角形；另一种是如图（1）中的三棱锥D₁-BCD，四个面都是直角三角形． 故C，D正确；
 第二类：在底面ABCD的三个顶点中任取两个作为三棱锥的顶点，然后在底面A₁B₁C₁D₁的四个顶点中任取两个作为三棱锥的另外两个顶点，一种是如图（2）中的三棱锥A₁-BC₁D，其中四个面是等边三角形；另一种是如图（2）中的三棱锥A₁-BB₁D，其中三个面是直角三角形，第四个面是等边三角形． 故B正确
综上，只有A选项中的命题是错误的
故选A
点评：本题以命题的真假判断为载体考查了正方体的几何特征，对正方体中的所有三棱锥进行正确分类是解题的关键．