Question

从正方体的8个顶点中选取4个点，连接成一个四面体，这个四面体可能为：
①每个面都是直角三角形；
②每个面都是等边三角形；
③有且只有一个面是直角三角形；
④有且只有一个面是等边三角形．
其中正确的说法有

①②④

．（写出所有正确结论的编号）．

Answer 1

分析：我们把正方体中的所有三棱锥分为两类：第一类：在底面ABCD的三个顶点中任取三个作为三棱锥的顶点，然后在底面A₁B₁C₁D₁的四个顶点中任取一个作为三棱锥的第四个顶点，
第二类：在底面ABCD的三个顶点中任取两个作为三棱锥的顶点，然后在底面A₁B₁C₁D₁的四个顶点中任取两个作为三棱锥的另外两个顶点，从而得出正方体中的所有三棱锥的情况．

解答：解：我们把正方体中的所有三棱锥分为两类：第一类：在底面ABCD的三个顶点中任取三个作为三棱锥的顶点，然后在底面A₁B₁C₁D₁的四个顶点中任取一个作为三棱锥的第四个顶点，一种是如图（1）中的三棱锥A₁-ABD，其中三个面是直角三角形，
第四个 面是等边三角形；另一种是如图（1）中的三棱锥D₁-BCD，四个面都是直角三角形． 
 第二类：在底面ABCD的三个顶点中任取两个作为三棱锥的顶点，然后在底面A₁B₁C₁D₁的四个顶点中任取两个作为三棱锥的另外两个顶点，一种是如图（2）中的三棱锥A₁-BC₁D，其中四个面是等边三角形；另一种是如图（2）中的三棱锥A₁-BB₁D，其中三个面是直角三角形，第四个面是等边三角形． 
综上可知：①②④正确，而③不可能有．
故答案为①②④．

点评：对正方体中的所有三棱锥进行正确分类是解题的关键．