Question

17．已知二次函数f（x）=ax²+bx+1（其中b＞0）的图象过点（1，4），且其值域为[0，+∞）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-kx在区间[-2，2]上是单调函数，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（1）=4，判别式为0，解方程可得a=1，b=2，进而得到函数的解析式；
（2）求出g（x）的对称轴，讨论区间[-2，2]为增区间和减区间，解不等式可得k的范围．

解答 解：（1）由题意可得f（1）=4，
即为a+b+1=4，即a+b=3，
由值域为[0，+∞），可得△=b²-4a=0，
解得a=1，b=2，（负的舍去），
则f（x）=x²+2x+1；
（2）g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，
对称轴为x=$\frac{k-2}{2}$，
若在区间[-2，2]上是单调递增函数，
可得$\frac{k-2}{2}$≤-2，解得k≤-2；
若在区间[-2，2]上是单调递减函数，
可得$\frac{k-2}{2}$≥2，解得k≥6．
即有k的范围是（-∞，-2]∪[6，+∞）．

点评 本题考查函数的解析式的求法，注意运用二次函数的值域，考查函数的单调性的运用，属于中档题．