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已知在锐角△ABC中,角A,B,C,的对边分别为a,b,c,且tanB=
3
ac
a2+c2-b2

(1)求∠B;(2)求函数f(x)=sinx+2sinBcosx,(x∈[0,
π
2
])
的最小值及单调递减区间.
分析:(1)把余弦定理代入且tanB=
3
ac
a2+c2-b2
,整理得tanB=
3
2cosB
,进而求得sinB的值,B的值可得.
(2)把(1)中求得的sinB代入函数式,化简整理后根据正弦函数的性质可求得f(x)的单调递减区间.
解答:解:(1)由题意得tanB=
3
2cosB
,;
从而sinB=
3
2

0<B<
π
2
,所以B=
π
3

(2)由(1)得f(x)=sinx+
3
cosx=2sin(x+
π
3
)

因为x∈[0,
π
2
]
,所以x+
π
3
∈[
π
3
6
]

所以当x=
π
2
时,f(x)取得最小值为1;
且f(x)的单调递减区间为[
π
6
π
2
]
点评:本题主要考查了余弦定理的应用.综合了同角三角函数的关系、三角函数的性质等问题,考查了学生对问题的综合把握.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知在锐角△ABC中,a,b,c为角A,B,C所对的边,且(b-2c)cosA=a-2acos2
B
2

(1)求角A的值;
(2)若a=
3
,则求b+c的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(sinx,-1)
n
=(cosx,3)

(1)设函数f(x)=(
m
+
n
)•
m
,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)已知在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,
3
c=2asin(A+B)
,对于(1)中的函数f(x),求f(B+
π
8
)
的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(sinx,-1),
n
=(cosx,3)

(1)当
m
n
时,求
sinx+cosx
3sinx-2cosx
的值;
(2)设函数f(x)=(
m
+
n
)•
m
,求f(x)的单调增区间;
(3)已知在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,
3
c=2asin(A+B),对于(2)中的函数f(x),求f(B+
π
8
)的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知在锐角△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且tanB=
3
ac
a2+c2-b2

(I)求∠B;
(II)求函数f(x)=sinx+2sinBcosx,(x∈[0,
π
2
]
)的最小值及单调递减区间.

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