Question

已知在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且tanB=

3 ac

a2+c2-b2

，
（I）求∠B；
（II）求函数f（x）=sinx+2sinBcosx，（x∈[0，

π

2

]）的最小值及单调递减区间．

Answer 1

分析：（I）在锐角△ABC中，由tanB=

3 ac

a2+c2-b2

=

3 ac

2ac•cosB

=

3

2cosB

，求得sinB的值，即可求得B的值．
（II）利用两角和差的正弦公式化简 函数f（x）的解析式2sin（x+

π

3

），再根据正弦函数的定义域和值域求得它的最小值，令 2kπ+

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范围，
即可求得函数的减区间．

解答：解：（I）在锐角△ABC中，∵tanB=

3 ac

a2+c2-b2

=

3 ac

2ac•cosB

=

3

2cosB

，∴sinB=

3

2

，B=

π

3

．
（II）∵函数f（x）=sinx+2sinBcosx=sinx+

3

cosB=2sin（x+

π

3

），x∈[0，

π

2

]，∴x+

π

3

∈[

π

3

 

5π

6

]，
故当x+

π

3

=

5π

6

时，2sin（x+

π

3

）取得最小值为 2×

1

2

=1．
令 2kπ+

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 2kπ+

π

6

≤x≤2kπ+

7π

6

，k∈z．
故函数的减区间为[2kπ+

π

6

，2kπ+

7π

6

]，k∈z．

点评：本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域及其单调性，属于中档题．