Question

【题目】已知椭圆:的上顶点为A,以A为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为、.

（1）求椭圆的方程；

（2）设不经过点A的直线与椭圆交于P、Q两点，且,试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直线过定点

【解析】

（1）根据圆的圆心和半径写出圆的标准方程，令求得圆与轴交点的坐标，由此列方程组求得的值，进而求得椭圆的标准方程.（1）根据，利用点斜式设出直线的方程，并分别代入椭圆方程解出两点的坐标，由此求得直线的方程，由此求得定点的坐标为.

解：（1）依题意知点A的坐标为，则以点A圆心，以为半径的圆的方程为:

，

令得，由圆A与y轴的交点分别为、

可得，解得，

故所求椭圆的方程为.

（2）由得，可知PA的斜率存在且不为0，

设直线-① 则-②

将①代入椭圆方程并整理得，可得，

则，

类似地可得，

由直线方程的两点式可得：直线的方程为 ，

即直线过定点，该定点的坐标为.