Question

6．设单位向量$\overrightarrow{e_1}$、$\overrightarrow{e_2}$对于任意实数λ都有|$\overrightarrow{e_1}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{e_2}$|≤|$\overrightarrow{e_1}$-λ$\overrightarrow{e_2}$|成立，则向量$\overrightarrow{e_1}$、$\overrightarrow{e_2}$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由向量的数量积运算可化问题为二次函数恒成立问题，由二次函数的性质可得．

解答 解：设单位向量$\overrightarrow{e_1}$、$\overrightarrow{e_2}$的夹角为θ，
∵对于任意实数λ都有|$\overrightarrow{e_1}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{e_2}$|≤|$\overrightarrow{e_1}$-λ$\overrightarrow{e_2}$|成立，
∴对于任意实数λ都有|$\overrightarrow{e_1}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{e_2}$|²≤|$\overrightarrow{e_1}$-λ$\overrightarrow{e_2}$|²成立，
即${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+$\frac{1}{4}$${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$+|$\overrightarrow{{e}_{1}}$||$\overrightarrow{{e}_{2}}$|cosθ≤${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+λ²${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$-2λ|$\overrightarrow{{e}_{1}}$||$\overrightarrow{{e}_{2}}$|cosθ，
即1+$\frac{1}{4}$+cosθ≤1+λ²-2λcosθ，即λ²-2λcosθ-（$\frac{1}{4}$+cosθ）≥0恒成立，
∴△=4cos²θ+4（$\frac{1}{4}$+cosθ）≤0，整理可得（cosθ+$\frac{1}{2}$）²≤0，
再由（cosθ+$\frac{1}{2}$）²≥0可得（cosθ+$\frac{1}{2}$）²=0，故cosθ=-$\frac{1}{2}$，
∵θ∈[0，π]，∴θ=$\frac{2π}{3}$
故选：C

点评 本题考查向量的数量积和向量的夹角，涉及二次函数的性质，属基础题．