Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为1的正方体，P-A₁B₁C₁D₁是四棱锥，点P在平面CC₁DD₁内，PD₁=PC₁=

5

2

．
（I）证明：PA₁∥平面ABC₁D₁；
（II）求点P到平面ABC₁D₁的距离．

Answer 1

分析：（1）作作PM⊥C₁D₁于M点，证四边形AMPA₁是平行四边形，得PA₁∥AM，再由直线与平面平行的判定定理即可证得结论成立．
（2）由（1）知PA₁∥平面ABC₁D₁，故P点到面的距离就得于A₁到面的距离．

解答：（1）证明：作PM⊥C₁D₁于M点，则M为C₁D₁的中点，连接AM．
∵平面PC₁D₁⊥平面A₁B₁C₁D₁
∴PM⊥平面A₁B₁C₁D₁
∵PD₁=PC₁=

5

2

．
∴PM=

PD12-D1M2

=

( 5 2 )2-( 1 2 )2

=1
∴PM∥AA₁且PM=AA₁
∴四边形AMPA₁是平行四边形
∴PA₁∥AM
∵PA₁?平面ABC₁D₁，AM?平面ABC₁D₁，
∴PA₁∥平面ABC₁D₁
（2）解：连接A₁D，则A₁D⊥AD₁，设垂足为O．
∵平面ABC₁D₁⊥平面ADD₁A₁，平面ABC₁D₁∩平面ADD₁A₁=AD₁
∴A₁D⊥平面ABC₁D₁
易得点A₁到平面ABC₁D₁的距离A1O=

2

2

由（1）知：PA₁∥平面ABC₁D₁
∴点P到平面ABC₁D₁的距离即为点A₁到平面ABC₁D₁的距离．
∴点P到平面ABC₁D₁的距离为

2

2

．

点评：本题考查了线面平行的判定定理、面面垂直的性质、点到面的距离的求法．