Question

双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，｜PQ｜＝4，求双曲线的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：设所求的双曲线方程为－＝1，过右焦点F(c，0)的直线方程为 　　y＝(x－c)(其中c2＝a2＋b2)． 　　由， 　　得　(5b2－3a2)x2｜6a2cx－3a2c2－5a2b2＝0． 　　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 　　则x1＋x2＝－， 　　　x1·x2＝， 　　　y1·y2＝(x1－c)(x2－c) 　　　　　 ＝［x1x2－c(x1＋x2)＋c2］ 　　　　　 ＝． 　　∵OP⊥OQ，故kOP·kOQ＝－1， 　　∴＝＝－1． 　　整理，得3a4＋8a2b2－3b4＝0， 　　亦即　(3a2－b2)(a2＋3b2)＝0． 　　∵a2＋3b2≠0，∴b2＝3a2．　　① 　　由①，可推出c＝2a， 　　设PQ的中点M的坐标为(x0，y0)， 　　由 　　得　b2(－)＝a2(－)， 　　∴·＝． 　　∵y1＋y2＝2y0，x1＋x2＝2x0， 　　　　kPQ＝，kOM＝， 　　∴·＝＝3，故y0＝x0．　　② 　　又M点在PQ上，故y0＝(x0－c)．　　③ 　　由②、③得x0＝－＝－，y0＝－a． 　　∵△OPQ是直角三角形，∴｜OM｜＝｜PQ｜＝2， 　　∴＋＝4，解得a2＝1．代入①，得b2＝3． 　　∴所求双曲线的方程为x2－＝1． 　　分析：如何根据题设条件OP⊥OQ，｜PQ｜＝4，建立含a、b的方程组是解本题的关键．根据OP⊥OQ可得kOP·kOQ＝－1，导出a、b的一个关系式．对已知｜PQ｜＝4，可用弦长公式，也可利用Rt△OPQ斜边上的中线等于斜边的一半建立等量关系． 　　点评：解析几何中直线垂直关系通常转换为直线斜率的关系，直线被圆锥曲线截得线段长通常可用弦长公式建立等量关系．本题充分利用图形几何性质起到了简化运算的作用．