Question

如图所示，设点P(

3	p

，4)关于x轴的对称点P′在曲线C：y=-

px

，(x＞0)上，
（I）求实数p的值；
（II）若A，B为曲线C上不同两点，线段PP′恰好经过△ABP的内心，试问：曲线C在点P′处的切线m是否一定平行于直线AB？请给以证明．

Answer 1

分析：（I）利用点P(

3	p

，4)关于x轴的对称点P′在曲线C：y=-

px

，(x＞0)上，建立方程，即可求得p的值；
（II）曲线C在点P′处的切线m一定平行于直线AB．设出直线方程，代入抛物线方程，求出直线AB的斜率，利用导数法，求出切线m的斜率，即可得到结论．

解答：解：（I）∵点P(

3	p

，4)关于x轴的对称点P′在曲线C：y=-

px

，(x＞0)上，
∴-4=-

p 3 p

，∴p=8或p=-8
∵x＞0，px≥0，∴p=8；
（II）曲线C在点P′处的切线m一定平行于直线AB，证明如下：
设PA：y=k（x-2）+4，k≥2代入y=-

8x

，消去y可得k²x²+4（2k-k²-2）x+（4-2k）²=0
∴x=2或x=

2(k-2)2

k2

∴x_A=

2(k-2)2

k2

∵线段PP′恰好经过△ABP的内心，
∴k_PA=k_PB，∴用-k代换x，可得x_B=

2(k+2)2

k2

∴k_AB=

yA-yB

xA-xB

=-1
对y=-

8x

，求导得y′=-

2 x

，∴k_m=-1
∵直线AB与直线m不可能重合
∴曲线C在点P′处的切线m一定平行于直线AB．

点评：本题考查轨迹方程的确定，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．