Question

设f （x）是奇函数，对任意的实数x、y，有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f （x）＜0，则f （x）在区间[a，b]上（　　）

• A．有最大值f（a）
• B．有最小值f（a）
• C．有最大值f(

  a+b

  2

  )
• D．有最小值f(

  a+b

  2

  )

Answer 1

分析：利用函数单调性的定义，先设x₁＜x₂得x₂-x₁＞0，结合题意得f（x₂-x₁）＜0，再结合（x+y）=f（x）+f（y）得
f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）＜0，最后利用函数为奇函数得到f（x₂）-f（x₁）＜0，得到函数为R上的减函数．由此不难得到正确选项．

解答：解：任取x₁＜x₂，x₂-x₁＞0，
∵当x＞0时，f （x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0
即f（x₂）+f（-x₁）＜0；
∵f （x）是奇函数，
∴有f（x₂）-f（x₁）＜0
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在R上递减．
∴f（x）在区间[a，b]上有最大值f（a），最小值f（b）
故选A

点评：本题以一个抽象函数为例，考查了函数单调性的判断与证明、函数奇偶性等知识点，属于中档题．