Question

17．已知函数f（x）=$\sqrt{3}cos$$\frac{ωx}{2}$sin$\frac{ωx}{2}$+cos${\;}^{2}\frac{ωx}{2}$+cosωx（ω＞0）过点（$\frac{π}{3}，\frac{1}{2}$），且函数f（x）的对称中心到对称轴的最小距离大于$\frac{π}{10}$．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式并求其单调递增区间；
（Ⅱ）由函数y=$\sqrt{3}sinx+\frac{1}{2}$的图象经过怎样的变换可以得到函数y=f（x）的图象？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式，利用正弦函数的周期性、f（x）的图象过点（$\frac{π}{3}，\frac{1}{2}$）、以及它的图象的对称性，求得ω的值，再根据正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=$\sqrt{3}cos$$\frac{ωx}{2}$sin$\frac{ωx}{2}$+cos${\;}^{2}\frac{ωx}{2}$+cosωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx+$\frac{3}{2}$cosωx+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，
f（x）的图象过点（$\frac{π}{3}，\frac{1}{2}$），可得$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$ω+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，求得sin（$\frac{π}{3}$ω+$\frac{π}{3}$）=0，
故有 $\frac{π}{3}$ω+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，即ω=3k-1．
再根据函数f（x）的对称中心到对称轴的最小距离大于$\frac{π}{10}$，可得$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$＞$\frac{π}{10}$，即ω＜5，
故ω=2，f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得函数f（x）的增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（Ⅱ）由函数y=$\sqrt{3}sinx+\frac{1}{2}$的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，可得y=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象，再把所得图象上点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍，
可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$ 的图象．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、单调性以及它的图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．