Question

已知f（n）=（1-

1

3

）（1-

1

32

）（1-

1

33

）…（1-

1

3n

），g（n）=

1

2

（1+

1

3n

），其中n∈N*．
（1）分别计算f（1），f（2），f（3）和g（1），g（2），g（3）的值；
（2）由（1）猜想f（n）与g（n）（n∈N*）的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）代入计算即可；
（2）利用数学归纳法即可证明．

解答：解：（1）f（1）=1-

1

3

=

2

3

，f（2）=(1-

1

3

)(1-

1

32

)=

16

27

，f（3）=(1-

1

3

)(1-

1

32

)(1-

1

33

)=

416

729

．
g（1）=

1

2

×(1+

1

3

)=

2

3

，g（2）=

1

2

×(1+

1

32

)=

5

9

，g（3）=

1

2

×(1+

1

33

)=

14

27

．
（2）猜想n=1，f（1）=g（1）；n≥2时，f（n）≥g（n）．
证明：①当n=1，2时，f（1）=g（1），f（2）＞g（2）．
②当n=k≥2时，假设f（k）＞g（k）成立；
则当n=k+1时，f（k+1）=f（k）(1-

1

3k+1

)＞

1

2

(1+

1

3k

)(1-

1

3k+1

)=

1

2

(1+

1

3k

-

1

3k+1

-

1

32k+1

)＞

1

2

(1+

1

3k+1

)．
即n=k+1时，不等式也成立．
综上可知：不等式对于?n∈N^*．不等式都成立．

点评：熟练掌握数学归纳法是解题的关键．