Question

已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=

bx-1

a2x+2b

（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（-1，1）上的单调性；
（3）当b=2a时，问是否存在x的值，使满足-1≤a≤1且a≠0的任意实数a，不等式f（x）＜4恒成立？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据偶函数的定义可知f（-x）=f（x），可求出b的值，求出g（x）的定义域看是否对称，然后根据奇偶性定义进行判定；
（2）g（x）=x有两个不相等的实根可转化成△＞0，可判定对称轴的范围，从而确定函数f（x）在（-1，1）上的单调性；
（3）不等式f（x）＜4恒成立可转化成ax²+2ax-3＜0对于-1≤a≤1且a≠0时恒成立，建立不等式组，解之即可求出所求．

解答：解：（1）若f（x）为偶函数，有f（-x）=f（x）⇒b=0，则g（x）=

-1

a2x

，定义域为{x|x≠0}，且g（-x）=-g（x），所以g（x）为奇函数．
（2）由g（x）=x，整理得：a²x²+bx+1=0，且△=b²-4a²＞0?|

b

2a

|＞1，即

b

2a

＞1或

b

2a

＜-1，又f（x）得对称轴为x=-

b

2a

所以当-

b

2a

＜-1时，f（x）在（-1，1）上为增函数；当-

b

2a

＞1时，f（x）在（-1，1）上为减函数．
（3）由f（x）＜4，即ax²+2ax+1＜4，有ax²+2ax-3＜0
由已知它对于-1≤a≤1且a≠0时上面不等式恒成立，则有

x2+2x-3＜0 -x2-2x-3＜0

解得：-3＜x＜1．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性的判定，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的能力，属于中档题．