Question

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c，函数y=f(x)+

2

3

x-1的图象过原点且关于y轴对称，记函数 h(x)=

x

f(x)．
（I）求b，c的值；
（Ⅱ）当a=

1

10

时，求函数y=h(x)的单调递减区间；
（Ⅲ）试讨论函数 y=h（x）的图象上垂直于y轴的切线的存在情况．

Answer 1

分析：（I）若函数的图象经过原点，则常数项为0，若函数为偶函数，则函数的图象关于y轴对称，故不难求出b，c的值．
（II）当a=

1

10

时，结合（1）的结论不难给出函数导函数的解析式，确定导函数的符号易得函数的单调区间．
（III）如果函数图象上存在垂直于y轴的切线，则切点处的导数为0，结合导数即可求解．

解答：解：（I）∵y=ax²+（b+

2

3

）x+c-1是偶函数，
∴b+

2

3

=0，b=-

2

3

，
又∵图象过原点，
∴c=1，
∴b=-

2

3

，c=1，
（Ⅱ）当a=

1

10

时，h（x）=

x

（

1

10

x2-

2

3

x+1）
h′（x）=

1

2

x-

1

2

(

1

10

x2-

2

3

x+1)+

x

(

1

5

x-

2

3

)
=

1

2 x

(

1

10

x2-

2

3

x+1)
=

1

4 x

(x2-4x+2)
令f′（x）＜0得，
函数单调递减区间是（2-

2

，2+

2

），
（III）∵函数h（x）的图象上垂直于y轴的切线，
∴方程h′（x）=0存在正根，
h′（x）=

1

2

x-

1

2

（ax²-

2

3

x+1）+

x

（2ax-

2

3

）=

1

2 x

(5ax2-2x+1)
即5ax²-2x+1=0存在正根，△=4（1-5a）．
①当a＞

1

5

时，△＜0，方程5ax²-2x+1=0无实数根，
此时函数h（x）的图象上没有垂直于y轴的切线
②当a=

1

5

时，△=0，方程5ax²-2x+1=0根为x=1，
此时函数h（x）的图象上存在一条垂直于y轴的切线
③当0＜a＜

1

5

时，△＞0，方程5ax²-2x+1=0有两个实数根x₁，x₂，x₁+x₂=

2

a

＞0，x₁x₂=

1

a

＞0，方程5ax²-2x+1=0有两个不等的正实数根
此时函数h（x）的图象上有垂直于y轴的切线
④a＜0时，△＞0，方程5ax²-2x+1=0有且仅有一个正实数根，此时函数h（x）的图象上存在一条垂直于y轴的切线
综上：
当a＞

1

5

时，不存在垂直于y轴的切线
当a=

1

5

或a＜0时，存在一条垂直于y轴的切线
当0＜a＜

1

5

时，存在垂直于y轴的切线．

点评：本小题主要考查二次函数的性质、函数奇偶性的应用、导数的应用等基础知识，考查待定系数法．待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，当函数f（x）类型确定时，可用待定系数法．其解题步骤一般为：①根据函数类型设出函数的解析式（其中系数待定）②根据题意构造关于系数的方程（组）③解方程（组）确定各系数的值④将求出的系数值代入求出函数的解析式．