Question

（2013•宁波模拟）如图，椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C₁的短轴长．C₂与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C₂相交于点A、B，直线MA，MB分别与C₁相交于点D、E．
（1）求C₁、C₂的方程；
（2）求证：MA⊥MB．
（3）记△MAB，△MDE的面积分别为S₁、S₂，若

S1

S2

=λ，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线C₂被x轴截得弦长，建立关于b的等式，解出b=1；再由椭圆离心率为

2

2

，建立a、c的关系式，算出a²=2，由此即可得到椭圆C₁和抛物线C₂的方程；
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且直线AB方程为y=kx，与抛物线方程水运y，得x²-kx-1=0．利用根与系数的关系，结合向量的坐标运算，化简得

MA

•

MB

=0，从而得到MA⊥MB；
（3）设直线MA方程为y=k₁x-1，直线MB方程为y=k₂x-1，且满足k₁k₂=-1．由直线MA方程与抛物线C₂方程联解，得到点A的坐标为(k1，k12-1)，同理可得B(k2，k22-1)，从而得到S1=

1

2

|MA||MB|=

1

2

1+ k 2 1

1+ k 2 2

．然后用类似的方法得到S2=

1

2

|MD||ME|=

1

2

1+ k 2 1

1+ k 2 2

16

(1+2 k 2 1 )(1+2 k 2 2 )

，从而得到

S1

S2

关于k₁、k₂的表达式，化成关于k₁的表达式再用基本不等式即可求出

S1

S2

≥

9

16

，由此即可得到λ的取值范围．

解答：解：（1）椭圆C₁的离心率e=

c

a

=

2

2

，∴a²=2b²（1分）
又∵x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C₁的短轴长．
∴2

b

=2b，得b=1，a²=2，可得椭圆C₁的方程为

x2

2

+y2=1
而抛物线C₂的方程为y=x²-1；（3分）
（2）设直线AB方程为y=kx，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由

y=kx y=x2-1

消去y，得x²-kx-1=0（4分）
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1，可得y₁+y₂=k（x₁+x₂）=k²，y₁y₂=kx₁•kx₂=k²x₁x₂=-k²
∵M坐标为（0，-1），可得

MA

=(x1，y1+1)，

MB

=(x2，y2+1)
∴

MA

•

MB

=x1x2+(y1+1)(y2+1)=x₁x₂+y₁y₂+y₁+y₂+1=-1-k²+k²+1=0
因此，

MA

⊥

MB

，即MA⊥MB（7分）
（3）设直线MA方程为y=k₁x-1，直线MB方程为y=k₂x-1，且满足k₁k₂=-1
∴

y=k1x-1 y=x2-1

，解得

x=0 y=-1

或

x=k1 y=k12-1

∴A(k1，k12-1)，同理可得B(k2，k22-1)
因此，S1=

1

2

|MA||MB|=

1

2

1+ k 2 1

1+ k 2 2

|k1||k2|=

1

2

1+ k 2 1

1+ k 2 2

（10分）
再由

y=k1x-1 x2 2 +y2=1

，解得

x=0 y=-1

或

x= 4k1 1+2 k 2 1 y= 2k12-1 1+2 k 2 1

∴D(

4k1

1+2 k 2 1

，

2k12-1

1+2 k 2 1

)，
同理可得E(

4k2

1+2 k 2 2

，

2k22-1

1+2 k 2 2

)
∴S2=

1

2

|MD||ME|=

1

2

1+ k 2 1

1+ k 2 2

|16k1k2|

(1+2 k 2 1 )(1+2 k 2 2 )

=

1

2

1+ k 2 1

1+ k 2 2

16

(1+2 k 2 1 )(1+2 k 2 2 )

（13分）

S1

S2

=

(1+2 k 2 1 )(1+2 k 2 2 )

16

=

5+2( 1 k 2 1 + k 2 1 )

16

≥

9

16

，即λ=

S1

S2

的取值范围为[

9

16

，+∞）（15分）

点评：本题给出椭圆与抛物线满足的条件，求它们的方程并依此讨论直线截曲线形成三角形的面积之比的取值范围，着重考查了椭圆、抛物线的标准方程与简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于中档题．