Question

13．已知函数f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$-x）-$\sqrt{3}$cos2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若f（x）＜m+2对x∈[0，$\frac{π}{6}$]恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{2}$，且f（α）=$\frac{11}{5}$，求cos2α的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角余弦公式的变形、两角和的正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式函数f（x）的最小正周期，由正弦函数的单调区间求出f（x）的递减区间；
（2）由x的范围求出$2x+\frac{π}{3}$的范围，由正弦函数的最值求出f（x）的最大值，由恒成立列出不等式，求出实数m的取值范围；
（3）由（1）化简f（α）=$\frac{11}{5}$，由α的范围求出2α+$\frac{π}{3}$的范围，由平方关系求出$cos（2α+\frac{π}{3}）$，由两角差的余弦公式求出cos2α的值．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$-x）-$\sqrt{3}$cos2x
=1-cos（$\frac{π}{2}$-2x）-$\sqrt{3}$cos2x=-sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1
=$-2sin（2x+\frac{π}{3}）+1$，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{π}{12}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）的单调递减区间是$[-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ]（k∈Z）$；
（2）由x∈$[0，\frac{π}{6}]$得，$2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，
∴当$2x+\frac{π}{3}=\frac{π}{3}$时，函数f（x）取到最大值是$-\sqrt{3}+1$，
∵f（x）＜m+2对x∈[0，$\frac{π}{6}$]恒成立，∴$-\sqrt{3}+1$＜m+2，
解得m＞$-\sqrt{3}-1$，
∴实数m的取值范围（$-\sqrt{3}-1$，+∞）；
（3）由（1）得，f（α）=$-2sin（2α+\frac{π}{3}）+1$=$\frac{11}{5}$，
化简得，$sin（2α+\frac{π}{3}）=-\frac{3}{5}$，
由$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{2}$得，π＜2α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，
∴$cos（2α+\frac{π}{3}）$=$-\sqrt{1-si{n}^{2}（2α+\frac{π}{3}）}$=$-\frac{4}{5}$，
∴cos2α=cos[（2α$+\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=cos$（2α+\frac{π}{3}）$ cos$\frac{π}{3}$+sin $（2α+\frac{π}{3}）$ sin$\frac{π}{3}$
=$-\frac{4}{5}×\frac{1}{2}+（-\frac{3}{5}）×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{-4-3\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，三角恒等变换中的公式在化简、求值中的应用，以及恒成立问题的转化，注意角的范围和三角函数值的符号，考查转化思想，化简变形、计算能力．