Question

（2013•普陀区二模）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是B₁B、DC的中点．
（1）求三棱锥E-FCC₁的体积．
（2）求异面直线D₁F与A₁E所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析：（1）根据给出的多面体是正方体，所以三角形ECC₁的面积易求，且F点到面ECC₁的高可求，把三棱锥E-FCC₁的体积转化为三棱锥F-ECC₁的体积，直接利用体积公式求解；
（2）取AB的中点G，连接A₁G，则∠EA₁G即为两异面直线D₁F与A₁E所成角，在△A₁GE中直接利用余弦定理即可求解．

解答：解：（1）由VE-FCC1=VF-ECC1
因给出的多面体为正方体，
所以FC⊥平面ECC₁，且FC=1，
又△ECC₁的底CC₁=2，高为E到CC₁的距离等于2，
所以S△ECC1=

1

2

×2×2=2
VF-ECC1=

1

3

×S△ECC1×FC=

1

3

×1×2=

2

3

VE-FCC1=

2

3

．

（2）如上图，取AB的中点为G，连接A₁G，GE
由于A₁G∥D₁F，所以直线A₁G与A₁E所成的锐角或直角即为异面直线A₁E与D₁F所成的角．
在△A₁GE中，A1G=

5

，GE=

2

，A1E=

5

由余弦定理得，cos∠GA1E=

5+5-2

2× 5 × 5

=

4

5

＞0
所以∠GA1E=arccos

4

5

即异面直线A₁E与D₁F所成的角的大小为arccos

4

5

．

点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧，此题是中档题．