Question

已知函数f（x）=-x³+ax在（0，1）上是增函数．
（1）求实数a的取值范围A；
（2）当a为A中最小值时，定义数列{a_n}满足：a₁=b∈（0，1），且2a_n+1=f（a_n），试比较a_n与a_n+1的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）当x∈（0，1）时，函数f（x）=-x³+ax在（0，1）上是增函数可得f′（1）=-3+a≥0，可求得实数a的取值范围A；
（2）当a=3时，可求得a_n+1=f（a_n）=-+a_n，且a₁=b∈（0，1），用数学归纳法证明a_n∈（0，1），对n∈N^*恒成立，再作差比较a_n与a_n+1的大小．
解答：解：（1）∵f（x）=-x³+ax，
∴f′（x）=-3x²+a，
∵f（x）=-x³+ax在（0，1）上是增函数，
∴f′（1）=-3+a≥0，
∴a≥3，即A=[3，+∞）．
（2）当a=3时，由题意：a_n+1=f（a_n）=-+a_n，且a₁=b∈（0，1），
以下用数学归纳法证明：a_n∈（0，1），对n∈N^*恒成立．
①当n=1时，a₁=b∈（0，1）成立；
②假设n=k时，a_k∈（0，1）成立，那么当n=k+1时，
a_k+1=-a_k³+a_k，由①知g（x）=（-x³+3x）在（0，1）上单调递增，
∴g（0）＜g（a_k）＜g（1）
即0＜a_k+1＜1，
由①②知对一切n∈N^*都有a_n∈（0，1）
而a_n+1-a_n=-a_n³+a_n-a_n=a_n（1-a_n²）＞0
∴a_n+1＞a_n．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，着重考查数学归纳法的应用，用数学归纳法证明：a_n∈（0，1），对n∈N^*恒成立是关键，也是难点所在，考查数列与函数的综合，属于难题．