Question

广东省汕头市日前提出，要提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，努力实现“幸福汕头”的共建共享．现随机抽取50位市民，对他们的幸福指数进行统计分析，得到如下分布表：

幸福级别	非常幸福	幸福	不知道	不幸福
幸福指数（分）	90	60	30	0
人数（个）	19	21	7	3

（I）求这50位市民幸福指数的数学期望（即平均值）；
（11）以这50人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数，若从全市市民（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民人数．求ξ的分布列；
（III）从这50位市民中，先随机选一个人．记他的幸福指数为m，然后再随机选另一个人，记他的幸福指数为n，求n＜m+60的概率P．

Answer 1

（Ⅰ）记Ex表示这50位市民幸福指数的数学期望，
∴Ex=

1

50

(90×19+60×21+30×7+0×3)=63．…（1分）
（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2、3    …（2分）
P(ξ=0)=

C

03

(

4

5

)0(

1

5

)3=

1

125

…（3分）
P(ξ=1)=

C

13

(

4

5

)1(

1

5

)2=

12

125

…（4分）
P(ξ=2)=

C

23

(

4

5

)2(

1

5

)1=

48

125

…（5分）
P(ξ=3)=

C

33

(

4

5

)3(

1

5

)0=

64

125

…（6分）
∴ξ分布列为

ξ	0	1	2	3
P	1 125	12 125	48 125	64 125

…（7分）
（Ⅲ）方法一：设所有满足条件的对立事件n≥m+60的概率为P₁
①满足m=0且n=60的事件数为：

A

13

A

121

=63…（8分）
②满足m=0且n=90的事件数为：

A

13

A

119

=57…（9分）
③满足m=30且n=90的事件数为：

A

17

A

119

=133…（10分）
∴P1=

63+57+133

A 250

=

253

2450

…（11分）
所以满足条件n＜m+60的事件的概率为P=1-P1=1-

253

2450

=

2197

2450

．…（12分）
方法二：基本事件的总数为

A

250

=2450
满足条件n＜m+60的有如下各种情况：
①满足m=0时，n=0，30的事件数为：

A

13

A

19

…（8分）
②满足m=30时，n=0，30，60的事件数为：

A

17

A

130

…（9分）
③满足m=60时，n=0，30，60，90的事件数为：

A

121

A

149

…（10分）
④满足m=90时，n=0，30，60，90的事件数为：

A

119

A

149

…（11分）
所以P=

A 13 A 19 + A 17 A 130 + A 121 A 149 + A 119 A  49

A 250

=

3×9+7×30+21×49+19×49

50×49

=

2197

2450

…（12分）