Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=e^x
（1）若函数φ（x）=-x+f（-x），当x∈[-e，0）时，求φ（x）的值域．
（2）设直线l为函数f（x）的图象上一点A（x₀，f（x₀））处切线．证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x₀使得直线l与曲线y=g（x）相切．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，由x的范围得到导函数的符号，进一步得到原函数的单调性，从而求得函数的值域；
（2）：由f′(x)=

1

x

，求得切线l的方程y=

1

x0

x+lnx0-1，设直线l与曲线y=g（x）相切于点(x1，ex1)，由ex1=

1

x0

说明l也为函数y=g（x）的切线，然后证明在区间（1，+∞）上x₀存在且唯一即可．

解答： （1）解：当x∈[-e，0）时，φ（x）=-x+f（-x），
φ′(x)=-1+

1

x

=

1-x

x

，
∵x∈[-e，0），φ′(x)=-1+

1

x

=

1-x

x

＜0，
∴φ（x）在[-e，0）上单调递减，
∴φ（x）∈（-∞，e+1]；
（2）证明：∵f′(x)=

1

x

，
∴f′(x0)=

1

x0

，
∴切线l的方程y-lnx0=

1

x0

(x-x0)，
即y=

1

x0

x+lnx0-1  ①，
设直线l与曲线y=g（x）相切于点(x1，ex1)，
∵g′（x）=e^x，
∴ex1=

1

x0

，则x₁=-lnx₀，
∴直线l也为y-

1

x0

=

1

x0

(x+lnx0)，
即y=

1

x0

x+

lnx0

x0

+

1

x0

  ②，
由①②得，lnx0-1=

lnx0

x0

+

1

x0

，
∴lnx0=

x0+1

x0-1

．
下面证明在区间（1，+∞）上x₀存在且唯一．
φ′(x)=

1

x

+

2

(x-1)2

=

x2+1

x(x-1)2

．
∵x＞0且x≠1，
∴φ′（x）＞0．
∴函数φ（x）的单调递增区间为（0，1），（1，+∞），
可知，φ（x）=lnx-

x+1

x-1

在区间（1，+∞）上递增．
又φ(e)=lne-

e+1

e-1

=

-2

e-1

＜0，φ(e2)=lne2-

e2+1

e2-1

=

e2-3

e2-1

＞0．
结合零点存在性定理，说明方程φ（x）=0必在区间（e，e²）上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x₀．
故结论成立．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查了存在性和唯一性的证明问题，是压轴题．