Question

已知A，B是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）左右顶点，B（2，0）过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆与M，N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列，T（

1

4

，0）点是定点
（1）求椭圆C的方程；
（2）求三角形MNT面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题设知a=2，b=

3

．由此能求出椭圆C的方程．
（2）由点差法知PQ的中垂线交x轴于T（

1

4

，0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN：x=my+1与椭圆联立可得（3m²+4）y²+6my-9=0，|y₁-y₂|²=144

m2+1

(3m2+4)2

，由此能求出三角形MNT的面积的最大值．

解答： 解：（1）∵A，B是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）左右顶点，B（2，0），
∴a=2，
设直线PF的斜率为k，设右焦点F坐标为（c，0）
则PF的方程为y=k（x-c）
P点坐标为（4，4k-kc），PA的斜率为

1

6

（4k-kc），
PB斜率为

1

2

（4k-kc），
∵直线PA，PF，PB的斜率成等差数列
∴2k=

1

6

（4k-kc）+

1

2

（4k-kc），
解得c=1，
∴b=

4-1

=

3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．（7分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN：x=my+1与椭圆联立，
得（3m²+4）y²+6my-9=0，
|y₁-y₂|²=

36m2

(3m2+4)2

+

36

3m2+4

=144

m2+1

(3m2+4)2

，（12分）
令t=m²+1≥1，则|y₁-y₂|²=144

t

(3t+1)2

=144

1

9t+ 1 t +6

≤9，
故（S_△MNT）_max=

1

2

×

3

4

×3=

9

8

．（14分）

点评：本题考查椭圆C的方程，求△MNT的面积的最大值．解题时要认真审题，仔细解答，注意椭圆性质的合理运用．