Question

已知函数f（x）=（x²+ax+b）e^x在点（0，f（0））处的切线方程是y=-2x+1，其中e是自然对数的底数．
（Ⅰ） 求实数a、b的值；
（Ⅱ） 求函数f（x）在区间[-2，3]上的值域．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出f（x）的导数f′（x），则f′（0）=-2和点（0，f（0））在直线y=-2x+1上，得出方程组，求出a、b的值．
（2）求出f（x）的导数，判断f（x）在区间[-2，3]上的单调性，再求出其值域．

解答： 解：（Ⅰ） 由f（x）=（x²+ax+b）e^x，得f'（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x，
因为函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y=-2x+1，
所以

f(0)=1 f′(0)=-2

即

b=1 a+b=-2

解得a=-3，b=1．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（x²-3x+1）e^x，f'（x）=（x²-x-2）e^x=（x+1）（x-2）e^x，（8分）
令f'（x）=0，得x₁=-1或x₂=2．f（x）与f'（x）的关系如下表：

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3）	3
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	11e-2	↗	5 e	↘	-e2	↗	e3

由上表可知，函数f（x）在区间[-2，3]上的值域是[-e²，e³]．（12分）

点评：本题考查了导数在求切线上的应用，利用导数求函数要闭区间上的值域，是一道导数的综合题，属于中档题．