Question

（理） 如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=

6

．试用向量的方法求解下列问题：
（1）棱SA的中点为M，求异面直线DM与SC所成角的大小；
（2）求侧面ASD与侧面BSC所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）分别求出两条直线所在的向量，求出两个向量的夹角，由线线角与向量的夹角关系求出异面直线DM与SB所成角的大小．
（2）分别求出两个平面的法向量，利用空间向量的一个知识求出两个向量的夹角，进一步转化为两个平面的夹角．

解答：解：如图所示，以D为坐标原点建立直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），M（

1

2

，0，

1

2

），S（0，0，2）
（1）设异面直线DM与SB所成角为α，
∵

DM

=(

1

2

，0，

1

2

)，

SB

=(1，1，-2)
∴cosα=

DM • SB

| DM || SB |

=

4

5

∴异面直线DM与SB所成角为arccos

4

5

…（8分）
（2）设二面角的平面角为θ，由题意可知平面ASD的一个法向量为

DC

=(0，1，0)，设平面BSC的法向量为

n

=(x，y，1)，
由

SC • n =0 BC • n =0

得到

y-2=0 -x=0

解得x=0，y=2．所以

n

=(0，2，1)，
所以 cosθ=

DC • n

| DC || n |

=

2 5

5

，
∴面ASD与面BSC所成的二面角为arccos

2 5

5

…（14分）

点评：本题以四棱锥为载体，考查线线角，考查面面角．解决此类问题的关键是结合几何体的结构特征建立空间直角坐标系，对于运算能力有较强的要求．