Question

（08年永定一中二模理）（12分）

如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，

且，为中点.

（1）求证：平面；    　

（2）求二面角的大小；

（3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定

点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解析：解法一：（1）证明：∵底面为正方形，

      ∴，又，

      ∴平面，

∴.      …………………………………………………………………2分

同理，   …………………………………………………………………3分

又.

∴平面．  ……………………………………………………………4分

（2）解：设为中点，连结，

      又为中点，

可得，从而底面．

过 作的垂线，垂足为,连结．

      由三垂线定理有，

∴为二面角的平面角.     ………………………………6分

在中，可求得   

∴．                  …………………………………7分

∴ 二面角的大小为．   …………………………………8分

（3）解：由为中点可知,

要使得点到平面的距离为，

即要点到平面的距离为.

      过 作的垂线，垂足为,

∵平面，

∴平面平面，

∴平面，

即为点到平面的距离.

∴，

∴．                 ………………………………………………11分

设，

由与相似可得

，

∴，即．

∴在线段上存在点，且为中点，使得点到平面的距离为．

……………………12分

解法二：

（1）证明：同解法一．

（2）解：建立如图的空间直角坐标系，   ……………………………………5分

则.         

设为平面的一个法向量，

则， ．

又

 

令则

得．  …………………………………………………………………6分

又是平面的一个法向量，……………………………………7分

设二面角的大小为 ，

则．

∴ 二面角的大小为．     ………………………………8分

（3）解：设为平面的一个法向量，

则，．

又，

 

      令则

得． …………………………………………………………………10分

又

∴点到平面的距离，

∴，

解得，即 .

∴在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且为中点．……12分