Question

7．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则使$\frac{{f（x）-f（{-x}）}}{x}＞0$的x的取值范围为（-2，0）∪（0，2）．

Answer 1

分析 利用已知函数当x＞0时的单调性和奇函数的对称性画出图象即可解出．

解答 解：由f（x）在（0，+∞）上是减函数，且2是函数f（x）的一个零点，可以画出图象，
已知f（x）是定义在R上的奇函数，因此其图象关于原点对称，且f（0）=0，据此画出图象．
①当x＞0时，∵$\frac{{f（x）-f（{-x}）}}{x}＞0$，∴f（x）＞0，因此0＜x＜2；
②当x＜0时，∵$\frac{{f（x）-f（{-x}）}}{x}＞0$，∴f（x）＜0，因此-2＜x＜0．
综上可知：满足$\frac{{f（x）-f（{-x}）}}{x}＞0$的x的取值范围是（-2，0）∪（0，2）．
故答案为（-2，0）∪（0，2）．

点评 熟练掌握奇函数的对称性和分类讨论的思想方法是解题的关键．