Question

16．函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0，都有f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）若0＜x＜1时，有f（x）＜0，判断f（x）的单调性并证明；
（3）若f（3）=1，解不等式f（x-3）+2＜f（8x）

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，代入可解得．
（2）先判断，后证明，利用单调性的定义证明；
（3）f（9）=2f（3）=2，则原不不等式等价于f[9（x-3）]＜f（8x），利用单调性即可解得．

解答 解：（1）令x=y=1，可得f（1）=f（1）-f（1），∴f（1）=0；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数．
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），
∵x₁＞x₂＞0，
∴0＜$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜1，故f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
即f（x₂）＜f（x₁），
则f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（3）=1，∴f（9）-f（3）=f（3），
∴f（9）=2f（3）=2．
∵f（x-3）+2＜f（8x），
∴f[9（x-3）]＜f（8x），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴0＜9（x-3）＜8x，
∴3＜x＜27
∴原不等式的解集为（3，27）．

点评 本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数单调性的证明，考查不等式的解法，属于中档题．