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(2011•广州模拟)已知函数f(x)=cos2x+
3
sinxcosx-
1
2

(Ⅰ)若x∈[0,
π
2
]
,求f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的值;
(Ⅱ)在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若f(
A
2
)=1
,b=l,c=4,求a的值.
分析:(Ⅰ)利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得f(x)=sin(2x+
π
6
)
,结合0≤x≤
π
2
,可求sin(2x+
π
6
)的范围,进而可求函数的最大值及取得最大值的x
(Ⅱ)由f(
A
2
)=sin(A+
π
6
)=1
,及0<A<π,可求A,结合b=1,c=4,利用余弦定理可求a
解答:解:(Ⅰ)f(x)=cos2x+
3
sinxcosx-
1
2
=
1+cos2x
2
+
3
2
sin2x-
1
2
=sin(2x+
π
6
)
.                          …(4分)
0≤x≤
π
2

π
6
≤2x+
π
6
6

-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1
,即-
1
2
≤f(x)≤1

∴f(x)max=1,此时2x+
π
6
=
π
2

x=
π
6
.        …(8分)
(Ⅱ)∵f(
A
2
)=sin(A+
π
6
)=1

在△ABC中,∵0<A<π,
π
6
<A+
π
6
6

A+
π
6
=
π
2
A=
π
3
.                       …(10分)
又b=1,c=4,
由余弦定理得a2=16+1-2×4×1×cos60°=13
a=
13
.                …(12分)
点评:本题主要考查了三角函数中二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用,正弦函数的性质的应用,及余弦定理解三角形的应用.
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2
2
2
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