Question

已知函数f（x）=（x-a）²e^x，a∈R
（I）求f（x）的单调区间；
（II）证明：当a∈[-1，3]，x∈（-∞，1]时，f（x）≤4e．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，由导数的正负，确定函数的单调区间；
（Ⅱ）当x∈（-∞，1]时，由（Ⅰ）知f（x）在（-∞，1]上的最大值为f（a-2）或f（1），从而可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：f′（x）=2（x-a）e^x+（x-a）²e^x=（x-a）[x-（a-2）]e^x．…（2分）
令f′（x）=0，得x₁=a-2，x₂=a．
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化如下：

x	（-∞，a-2）	a-2	（a-2，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以f（x）的单调递增区间是（-∞，a-2），（a，+∞），单调递减区间是（a-2，a）．…（6分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得[f（x）]_极大=f（a-2）=4e^a-2．
（1）当a≤1时，f（x）在（-∞，1]上的最大值为f（a-2）或f（1），
由f（a-2）=4e^a-2≤4e；f（1）=（a-1）²e≤4e，解得-1≤a≤1，即-1≤a≤1时，f（x）≤4e；
（2）当a-2≤1＜a，即1＜a≤3时，f（x）在（-∞，1]上的最大值为f（a-2），
此时f（a-2）=4e^a-2≤4e^3-2=4e；
综上，当a∈[-1，3]，x∈（-∞，1]时，f（x）≤4e．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性