Question

设函数f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x），（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）-g（x），判断函数F（x）的奇偶性并证明；
（Ⅱ）若关于x的方程g（m+2x-x²）=f（x）有实数根，求实数m的范围；
（Ⅲ）当a＞1时，不等式f（n-x）＞

1

2

g（x）对任意x∈[0，1]恒成立，求实数n的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数奇偶性的定义判断函数F（x）的奇偶性；
（Ⅱ）利用方程g（m+2x-x²）=f（x）有实数根，建立m的方程求出m的范围；
（Ⅲ）利用不等式恒成立，求实数n的范围．

解答：解：（I）要使函数（x）=f（x）-g（x）有意义，
则

1-x＞0 1+x＞0

，解得-1＜x＜1，
即函数的定义域为（-1，1）关于原点对称．
∵F（x）=f（-x）-g（-x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）
=-[f（x）-g（x）]=F（-x），
∴F（x）=f（x）-g（x）是奇函数；
（II）方程g（m+2x-x²）=f（x）有实数根，
即loga[1+(m+2x-x2)]=loga(1-x)
∴1+m+2x-x²=1-x，
即m=x²-3x有实数根，
由-1＜1-x＜1，得0＜x＜2．
又函数f（x）的定义域为{x|x＜1}，
∴此时0＜x＜1．
∵m=x²-3x=(x-

3

2

)2-

9

4

，0＜x＜1，
∴-2＜m＜0．
（Ⅲ）∵f（n-x）=log_a（1-n+x），

1

2

g（x）=

1

2

loga(1+x)，
∴由a＞1且f（n-x）＞

1

2

g（x）
得1-n+x＞

1+x

，
设t=

1+x

，则1≤t≤

2

，
∴不等式等价为t²-n＞t，
即n＜t²-t，
设g（t）=t²-t，则g(t)=(t-

1

2

)2-

1

4

，
∴当t=1，即x=0时，g（t）有最小值0．
∴n＜0．

点评：本题主要考查了对数函数有关的性质，考查函数恒成立问题，综合性较强，难度较大．