Question

如果椭圆

x2

36

+

y2

9

=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是

 

．

Answer 1

分析：若设弦的端点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入椭圆方程得9x₁²+36y₁²=36×9①，9x₂²+36y₂²=36×9②；作差①-②，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．

解答：解：设弦的端点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入椭圆方程，得9x₁²+36y₁²=36×9①，9x₂²+36y₂²=36×9②；①-②，得9（x₁+x₂）（x₁-x₂）+36（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0；由中点坐标

x1+x2

2

=4，

y1+y2

2

=2，代入上式，得
36（x₁-x₂）+72（y₁-y₂）=0，∴直线斜率为k=

y2-y1

x2-x1

=-

1

2

，所求弦的直线方程为：y-2=-

1

2

（x-4），即x+2y-8=0．
故答案为：x+2y-8=0．

点评：本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于基础题目．