Question

如果椭圆

x2

36

+

y2

9

=1的弦AB被点M（x₀，y₀）平分，设直线AB的斜率为k₁，直线OM（O为坐标原点）的斜率为k₂，则k₁•k₂=（　　）

• A、4
• B、

  1

  4

• C、-1
• D、-

  1

  4

Answer 1

分析：设直线AB方程为y=k₁x+b，代入椭圆方程并整理得关于x的一元二次方程，然后利用根与系数的关系能求出结果．

解答：解：设直线AB方程为y=k₁x+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入椭圆方程并整理得：
（1+4k₁²）x²+8k₁bx+4b²-36=0，
x₁+x₂=-

8k1b

1+4k12

，
又中点M在直线上，
∴

y1+y2

2

=k₁（

x1+x2

2

）+b，
从而得弦中点M的坐标为（-

4k1b

1+4k12

，

b

1+4k12

），
∴k2=-

b 1+4k12

4k1b 1+4k2

=-

1

4k1

，
∴k₁k₂=-

1

4

．
故选D．

点评：本题考查椭圆与直线的位置关系的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．