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    已知f（x）=x（
    1
    2x-1
    +
    1
    2
    ）（x≠0）．
    （1）判断f（x）的奇偶性；
    （2）证明f（x）＞0．
    分析：（1）根据函数的解析式化简f（-x），注意通分变形，结合函数奇偶性的定义即可；
    （2）先证明x＞0时，利用指数函数的性质可证2x＞1，进而证得x＞0时成立，再利用偶函数的性质即可证明结论．
    解答：解：（1）f（x）的定义域（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，下面只要化简f（-x）．
    f（-x）=-x(
    1
    2-x-1
    +
    1
    2
    )    =-x（
    2x
    1-2x
    +
    1
    2
    ）
    =-x（
    2x-1+1
    1-2x
    +
    1
    2
    ）
    =x（
    1
    2x-1
    +
    1
    2
    ）=f（x），
    故f（x）是偶函数．
    （2）证明：当x＞0时，2x＞1，2x-1＞0，
    所以f（x）=x（
    1
    2x-1
    +
    1
    2
    ）＞0．
    当x＜0时，因为f（x）是偶函数
    所以f（x）=f（-x）＞0．
    综上所述，均有f（x）＞0．
    点评：本题考查函数奇偶性的定义、判断方法以及偶函数的性质，注意化简变形是解题的关键，属于基础题．
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    （2）设F(x)=
    h(x)
    f(x)
    ，且b＜0，试判断函数F（x）的单调性；
    （3）试证明：对?n∈N*，不等式ln(
    1+n
    n
    )e＜
    1+n
    n
    恒成立．

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    已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
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    （Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
    （Ⅲ）若k=
    1
    3
    ，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间[
    1
    2
    ，a]    上的值域为[
    1
    a
    ，1]    ，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）是奇函数：当x＞0时，f（x）=x（1-x）；则当x＜0时，f（x）=（　　）

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    已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x），则当x＜0时，有（　　）
    A、f（x）=-x（1+x）B、f（x）=-x（1-x）C、f（x）=x（1-x）D、f（x）=x（x-1）

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