Question

设命题P：a²＜a，命题Q：对任意x∈R，都有x²+4ax+1＞0成立，若命题P假且Q真，则实数a的取值范围是

{a|-

1

2

＜a≤0}

．

Answer 1

分析：先对两个命题进行化简，再由命题P假且Q真，转化出等价条件，两命题一真一假，由此条件求实数a的取值范围即可．

解答：解：若命题P：a²＜a为假，则a²≥a，解得a≤0或a≥1；
若Q：对任意x∈R，都有x²+4ax+1＞0成立，为真，
则：△=16a²-4＜0⇒-

1

2

＜a＜

1

2

，
由题意：命题P假且Q真，则有

a≤0或a≥1 - 1 2 ＜a＜ 1 2

∴-

1

2

＜a≤0；
所以实数a的取值范围为{a|-

1

2

＜a≤0}．
故答案为：{a|-

1

2

＜a≤0}．

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p与命题q为真时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．