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(2003•北京)已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)在区间[0,
π2
]
上的最大值和最小值.
分析:(I)根据平方关系、二倍角、两角和的余弦公式化简解析式,再求出函数的周期;
(Ⅱ)由x的范围求出“2x+
π
4
”的范围,再根据余弦函数的最值,求出此函数的最值以及x的值.
解答:解:(Ⅰ)由题意知,f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x
=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x
=cos2x-sin2x=
2
cos(2x+
π
4
)

∴f(x)的最小正周期T=
2

(Ⅱ)∵0≤x≤
π
2
,∴
π
4
≤2x+
π
4
4

2x+
π
4
=
π
4
时,f(x)取最大值为
2
2

2x+
π
4
时,f(x)取最小值为-1
f(x)=
2
cos(2x+
π
4
)
的最大值为1,最小值为-
2
点评:本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式,以及余弦函数的性质等基本知识,考查运算能力.
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