Question

设抛物线C1 ：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂；以F₁、F₂为焦点，离心率e=

1

2

的椭圆C₂与抛物线C₁的一个交点为P．
（1）当m=1时，直线l经过椭圆C₂的右焦点F₂，与抛物线C₁交于A₁、A₂，如果弦长|A₁A₂|等于三角形PF₁F₂的周长，求直线l的斜率．
（2）求最小实数m，使得三角形PF₁F₂的边长是自然数．

Answer 1

分析：（1）m=1时，F₂（1，0），由此能求出椭圆方程3x²+4y²=12．设l：y=k（x-1），联立

y2=4x y=k(x-1)

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由此利用弦长公式能求出直线的斜率．
（2）设椭圆长半轴为a，半焦距为c，由题设有c=m，a=2m，|F₁F₂|=2m．设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，有r₁+r₂=2a=4m，设P（x₀，y₀），对于抛物线C₁，r₂=x₀+m．由此能推导出使得三角形PF₁F₂的边长是连续的自然数的最小实数．

解答：解：（1）∵抛物线C1 ：y2=4mx（m＞0），
∴m=1时，F₂（1，0），
∵c=1 e=

1

2

  ∴ a=2 ， b2=a2-c2=3，
故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，即3x²+4y²=12．
依题意知直线l存在斜率，设l：y=k（x-1）
联立

y2=4x y=k(x-1)

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．…3分
∵直线l与抛物线C₁有两个交点，∴k≠0，
设A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），弦A₁A₂的中点M（x，y），
由韦达定理得x1+x2=

2k2+4

k2

=2+

4

k2

 ，x1x2=1…..5分
则 |A1A2|=

1+k2

|x1-x2|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[(2+ 4 k2 )2-4]

=

(1+k2)( 16 k2 + 16 k4 )

=4

(1+k2) (1+k2) k4

=4•

1+k2

k2

…8分
三角形PF₁F₂的周长=2a+2c=6，
由 

4(1+k2)

k2

=6，解得 k=±

2

．
故直线l的斜率为±

2

．…9分
（2）设椭圆长半轴为a，半焦距为c，由题设有c=m，a=2m，|F₁F₂|=2m．
又设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，有r₁+r₂=2a=4m
设P（x₀，y₀），对于抛物线C₁，r₂=x₀+m；
对于椭圆C₂，

r2

a2 c -x0

=e=

1

2

，
即r2=

1

2

(4m-x0)…..12分
由x0+m=

1

2

(4m-x0)，解得 x0=

2

3

m，
∴r2=

5

3

m，从而 r1=

7

3

m．
因此，三角形PF₁F₂的边长分别是

5

3

m ， 

6

3

m ， 

7

3

m．…13分
使得三角形PF₁F₂的边长是连续的自然数的最小实数m=3．…14分

点评：本题考查直线斜率的求法，考查使得三角形周长是连续的自然数的最小实数的求法．解题时要认真审题，注意椭圆、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用．