Question

已知

a

=（1+cosα，sinα），

b

=（1-cosβ，sinβ），

c

=(1，0)，α∈（0，π），β∈（π，2π），向量

a

与

c

夹角为θ₁，向量

b

与

c

夹角为θ₂，且θ₁-θ₂=

π

6

，若△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，且角A=β-α．
求（Ⅰ）求角A 的大小； 
（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为4

3

，试求b+c取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据条件求出cosθ1=

a • c

| a |•| c |

= cos

α

2

以及cosθ2=

1-cosβ

(1-cosβ)2+sin2β

=|sin

β

2

|=cos(

β

2

-

π

2

)，再结合θ₁、θ₂为向量夹角即可求出

α

2

=θ1，

β

2

-

π

2

=θ2，进而求出角A 的大小；
（Ⅱ）先根据正弦定理得到b+c=8

3

(sinB+sinC)=8

3

[sinB+sin(

π

3

-B)]=8

3

sin(B+

π

3

)，再结合B+

π

3

∈(

π

3

，

2π

3

)，即可求出结论．

解答：解：（Ⅰ）据题设，并注意到α、β的范围，cosθ1=

a • c

| a |•| c |

= cos

α

2

----------------------（2分）
cosθ2=

1-cosβ

(1-cosβ)2+sin2β

=|sin

β

2

|=cos(

β

2

-

π

2

)，--------------------（4分）
由于θ₁、θ₂为向量夹角，故θ₁、θ₂∈[0，π]，
而

α

2

∈(0，

π

2

)，

β

2

-

π

2

∈(0，

π

2

)，故有

α

2

=θ1，

β

2

-

π

2

=θ2，得A=β-α=

2π

3

．--（7分）
（Ⅱ）由正弦定理

a

sin π 3

=

b

sinB

=

c

sinC

=8

3

，-------（10分）
得b+c=8

3

(sinB+sinC)=8

3

[sinB+sin(

π

3

-B)]=8

3

sin(B+

π

3

)--------（12分）
注意到B+

π

3

∈(

π

3

，

2π

3

)，从而得b+c∈(12，8

3

]．------------------------（14分）

点评：本题主要考查向量的数量积求向量的夹角以及正弦定理的应用．解决第二问的关键在于根据正弦定理得到b+c=8

3

(sinB+sinC)=8

3

[sinB+sin(

π

3

-B)]=8

3

sin(B+

π

3

)．