Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）若不过原点的直线与椭圆相交于，两点，与直线相交于点，且是线段的中点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据离心率为，点在椭圆上，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果；（2）先判断直线的斜率存在，设直线的方程为，与联立消，得，由在直线上求得，利用弦长公式、点到直线距离公式，结合三角形面积公式求得，利用基本不等式可得结果.

（1）由椭圆：的离心率为，点在椭圆上，得，解得，所以椭圆的方程为.

（2）易得直线的方程为.

当直线的斜率不存在时，的中点不在直线上，故直线的斜率存在.

设直线的方程为，与联立消，得，所以.

设，，

则，.由,

所以的中点,

因为在直线上，所以，解得，

所以，得，且，

，

又原点到直线的距离，所以 ，当且仅当，即时等号成立，符合，且，所以面积的最大值为.